The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeros → cons(0, n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIList(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt, L, N) → U72(isNat(activate(N)), activate(L))
U72(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → U92(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U92(tt, IL, M, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U93(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0
length(cons(N, L)) → U71(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0, IL) → U81(isNatIList(IL))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0 → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
isNat(n__length(n__cons(V1114745_4, V2114746_4))) →⁺ U11(U51(isNat(V1114745_4), activate(V2114746_4)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [V1114745_4 / n__length(n__cons(V1114745_4, V2114746_4))].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIList(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt, L, N) → U72(isNat(activate(N)), activate(L))
U72(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → U92(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U92(tt, IL, M, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U93(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U81(isNatIList(IL))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIList(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt, L, N) → U72(isNat(activate(N)), activate(L))
U72(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → U92(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U92(tt, IL, M, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U93(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U81(isNatIList(IL))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U72 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U81 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_4 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_4 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNatIList, activate, isNatList, isNat, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = activate
isNatIList = isNatList
isNatIList = isNat
isNatIList = length
activate = isNatList
activate = isNat
activate = length
isNatList = isNat
isNatList = length
isNat = length

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIList(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt, L, N) → U72(isNat(activate(N)), activate(L))
U72(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → U92(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U92(tt, IL, M, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U93(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U81(isNatIList(IL))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U72 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U81 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_4 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_4 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, isNatIList, activate, isNat, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = activate
isNatIList = isNatList
isNatIList = isNat
isNatIList = length
activate = isNatList
activate = isNat
activate = length
isNatList = isNat
isNatList = length
isNat = length

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIList(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt, L, N) → U72(isNat(activate(N)), activate(L))
U72(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → U92(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U92(tt, IL, M, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U93(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U81(isNatIList(IL))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U72 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U81 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_4 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_4 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, isNatIList, activate, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = activate
isNatIList = isNatList
isNatIList = isNat
isNatIList = length
activate = isNatList
activate = isNat
activate = length
isNatList = isNat
isNatList = length
isNat = length

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIList(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt, L, N) → U72(isNat(activate(N)), activate(L))
U72(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → U92(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U92(tt, IL, M, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U93(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U81(isNatIList(IL))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U72 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U81 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_4 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_4 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNatIList, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = activate
isNatIList = isNatList
isNatIList = isNat
isNatIList = length
activate = isNatList
activate = isNat
activate = length
isNatList = isNat
isNatList = length
isNat = length

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIList(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt, L, N) → U72(isNat(activate(N)), activate(L))
U72(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → U92(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U92(tt, IL, M, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U93(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U81(isNatIList(IL))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U72 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U81 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_4 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_4 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
length, isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = activate
isNatIList = isNatList
isNatIList = isNat
isNatIList = length
activate = isNatList
activate = isNat
activate = length
isNatList = isNat
isNatList = length
isNat = length

(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol length.

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIList(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt, L, N) → U72(isNat(activate(N)), activate(L))
U72(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → U92(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U92(tt, IL, M, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U93(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U81(isNatIList(IL))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U72 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U81 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_4 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_4 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = activate
isNatIList = isNatList
isNatIList = isNat
isNatIList = length
activate = isNatList
activate = isNat
activate = length
isNatList = isNat
isNatList = length
isNat = length

(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIList.

(18) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt) → tt
U21(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNatIList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt, V2) → U62(isNatIList(activate(V2)))
U62(tt) → tt
U71(tt, L, N) → U72(isNat(activate(N)), activate(L))
U72(tt, L) → s(length(activate(L)))
U81(tt) → nil
U91(tt, IL, M, N) → U92(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U92(tt, IL, M, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N))
U93(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatList(activate(V1)))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNat(activate(V1)))
isNatIList(V) → U31(isNatList(activate(V)))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U51(isNat(activate(V1)), activate(V2))
isNatList(n__take(V1, V2)) → U61(isNat(activate(V1)), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U71(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
take(0', IL) → U81(isNatIList(IL))
take(s(M), cons(N, IL)) → U91(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N)
zeros → n__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → tt
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U51 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U61 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U62 :: tt → tt
U71 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U72 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
isNat :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U81 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U91 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
take :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_4 :: n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_4 :: tt
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4 :: Nat → n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(+(x, 1)) ⇔ n__take(n__zeros, gen_n__zeros:n__take:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_4(x))

No more defined symbols left to analyse.